ATRACTORES EXTRAÑOS
(caos III)

Ismael Roldán Castro
Universidad de Sevilla
iroldan@cica.es

Un atractor es algo así como un lugar con cierto magnetismo hacia lo que le rodea. Hay atractores cósmicos de muy diverso rango: desde el atractor gravitatorio universal o fuerza atractiva newtoniana, hasta el misterioso agujero negro; un túnel que quizá conecte instantáneamente universos paralelos.

Nacemos e inexorablemente nos vemos inmersos en una red de atractores: La familia, los amigos, la escuela, las filias y las fobias, el amor, etc. Con todo, un atractor final (no necesariamente fatal) nos aguarda. La característica común de estos atractores es su complejidad. Justamente la esencia del caos y la de los atractores extraños. Comenzaremos por analizar un atractor simple para llegar, por último, a esbozar los elementos de un atractor extraño. Al final, proporcionaremos una útil receta para guisar el caos.

Un péndulo simple, en ausencia de fricción y resistencia del aire, cuando oscila, describe un movimiento periódico cuyo período depende de su longitud y del valor de la gravedad. Como las variables que especifican el estado del péndulo en cualquier instante son la posición que ocupa y su cantidad de movimiento (masa por velocidad), bastará referir su evolución en el tiempo a un sistema cartesiano bidimensional donde los ejes mutuamente perpendiculares representarán las magnitudes referidas. A este plano de referencia se le conoce como "espacio de fases" del sistema y es de una importancia crucial en el estudio de su devenir.

Cuando el péndulo se encuentre en alguna de sus dos posiciones extremas de máxima elevación, la velocidad será nula; por consiguiente, su cantidad de movimiento también. Por el contrario, al pasar por el punto más bajo de su trayectoria, la velocidad será máxima. Esto ocurrirá en dos situaciones: una para el movimiento de derecha a izquierda del péndulo y la otra para la situación inversa. En ambas, la cantidad de movimiento será máxima. Si se representan esas posiciones en el espacio de fases y se deja al sistema oscilar, la trayectoria será una línea curva cerrada elíptica. Dependiendo del impulso inicial dado al péndulo, la elipse tendrá mayor o menor tamaño.

Un péndulo real, sin embargo, tiene fricciones y resistencias del aire; por ello, termina parándose. La dinámica del sistema queda representada gráficamente en el espacio de fases bidimensional por una espiral que tras varios giros muere en el origen de coordenadas: velocidad y posición nulas. A ese punto del espacio de fases se le conoce como "atractor" o "punto atractor fijo".

Los relojes actuales con apariencia analógica (tienen manecillas como los antiguos pero reciben el auxilio energético de una pila eléctrica y un cristal de cuarzo) constituyen péndulos "forzados". Es decir, compensan las pérdidas de energía por rozamiento con inyecciones de impulso mecánico. Así, no importa que el reloj desfallezca o se acelere en algún momento. El dispositivo electrónico incorporado se encargará de reanimarlo o relajarlo para que reencuentre su cadencia rítmica: el orden de la regularidad. En este caso, el atractor es una elipse con brazos espirales en el exterior y en el interior que terminan abrazándola y fundiéndose con ella en la intimidad más absoluta. Se trata de un "atractor" de "ciclo límite estable": un bucle cerrado hacia el cual convergen las trayectorias vecinas.

Ejemplos interesantes de ciclos límite lo constituyen los sistemas "depredador-presa". Por cierto, implantados natural o artificialmente en todo tipo de ecosistemas: biológicos, socio- políticos, religiosos, etc. Con pocos depredadores, las presas viven a sus anchas. Los primeros se reproducen plácidamente aumentando su número, mientras que las presas van desapareciendo drásticamente. Los depredadores, en esa tesitura, comienzan a morir por falta de alimento y las presas comienzan a reproducirse hasta superpoblar el ecosistema. Y el ciclo comienza de nuevo. Aunque aparezca una enfermedad que les afecte o se incremente artificialmente alguna de las poblaciones, los científicos demuestran que la tendencia del sistema es recuperar el ciclo. Un ciclo límite.

Es sorprendente que el comportamiento aparentemente aleatorio de los seres vivos integrantes del sistema pueda autoorganizarse de forma que resulte una estructura ordenada. Esto es, la génesis del orden a partir del caos. O, el sutil orden que subyace en el caos. Ahora bien, podría extrapolarse especulativamente el concepto al proceso evolutivo del ser humano. Factores psicológicos y ambientales, aparte de la configuración genética, podrían determinar en la infancia ciclos límites estables de carácter múltiple: individuos tendentes a ser felices o no serlo, comportamientos cíclicos pacíficos o violentos, pautas de convivencia tolerantes o intolerantes, actitudes favorables o desfavorables hacia diversas formas de aprendizaje, etc. Todos los esfuerzos por modificar el ciclo, terminarían por consolidarlo. Entonces se podría pensar en transformar el contexto, lo cual, además de ingenuo resulta algo bastante improbable. O bien, inyectar .....caos.

A lo mejor, ese horrendo fractal tan español como es la envidia, no es otra cosa que un indeseable ciclo límite. Pero, ¿cómo erradicarlo?

David Ruelle y Floris Takens, físico-matemático el primero y matemático el segundo, inventaron el término "atractor extraño": una zona bien delimitada del espacio de fases en la que las líneas de la trayectoria del sistema nunca se cortan. Líneas de longitud infinita confinadas en área finita, describiendo órbitas no periódicas.

Ni Ruelle ni Takens lo habían visto nunca. Pero presagiaron su existencia. Ese monstruo matemático, según ellos, habría de ser fractal. Lorenz, el meteorólogo que presentamos en la primera entrega de esta trilogía caótica que hoy concluye, se topó casualmente con él en 1963. Un atractor extraño con una forma de alas de mariposa que jamás se cortaba a sí mismo. Un complejo infinito de superficies separadas como en un dulce de hojaldre. Un insólito espectáculo geométrico.

Y puesto que caos y atractores extraños son manifestaciones distintas de una misma realidad, ahí va la receta que Ian Stewart proporciona para obtener un caos suculento: "350 gramos de espacio de fases, 1 cucharada sopera de condiciones iniciales, estirar y doblar repetidamente, y sazonar al gusto". Le aseguro, amable lector, un exquisito plato impredictible.

Artículo publicado en El Correo de Andalucía, 1-12-95.